Di cosa parliamo
In fisica il lavoro misura quanta energia una forza trasferisce a un corpo mentre lo sposta, e l'energia misura la capacità di un sistema di compiere lavoro. Sono due facce della stessa idea: ogni volta che una forza fa lavoro, da qualche parte dell'energia cambia forma.
L'energia non si crea e non si distrugge: si trasforma e si trasferisce. Una biglia in cima a uno scivolo possiede energia per la sua posizione; scendendo, quell'energia diventa movimento; se c'è attrito, una parte si trasforma in calore. Seguire questi scambi permette di risolvere problemi che con le sole forze sarebbero complicati.
Tutte le formule di questa app si ricavano senza usare gli integrali: dove serve “sommare” il lavoro di una forza che cambia (per esempio la forza di una molla) useremo l'area sotto il grafico forza–spostamento.
Come è organizzata l'app
Cinque sezioni tematiche. In ognuna trovi sempre le stesse quattro schede:
- Teoria — le idee e le formule, spiegate in breve.
- Simulazione — un modello interattivo con cui “giocare” muovendo i cursori.
- Esercizi — problemi guidati con suggerimenti progressivi e soluzione svolta.
- Quiz — domande a risposta multipla, una alla volta, con punteggio.
Nota storica: dalla «forza viva» all'energia
L'idea di energia ci mette più di un secolo a prendere forma. Alla fine del Seicento Gottfried Leibniz propone che la vera “misura del moto” di un corpo sia la vis viva (“forza viva”), la quantità \(m v^2\), in aperta polemica con i seguaci di Cartesio, per i quali contava invece \(m v\) (quella che oggi chiamiamo quantità di moto). In realtà si trattava di due grandezze diverse, entrambe utili.
Attorno al 1720 l'olandese Willem 's Gravesande lascia cadere sfere di ottone nella creta: l'affondamento risulta proporzionale a \(v^2\), non a \(v\). La matematica e fisica Émilie du Châtelet interpreta e diffonde questi risultati, dando solidità al concetto di forza viva. La parola «energia» nel senso moderno arriva con Thomas Young (1807).
Nel 1829 l'ingegnere Gaspard-Gustave Coriolis definisce il lavoro come “forza per spostamento” e introduce il fattore \(\tfrac12\), fissando la forma \(\tfrac12 m v^2\) che usiamo ancora. Pochi anni dopo James Prescott Joule misura l'equivalente meccanico del calore, mostrando che lavoro e calore sono modi diversi di trasferire la stessa cosa: in suo onore l'unità di energia si chiama joule.
Attorno al 1847 Julius Robert von Mayer e Hermann von Helmholtz enunciano il principio di conservazione dell'energia. Restano da battezzare le forme: William Rankine conia “energia potenziale” e William Thomson (Lord Kelvin) “energia cinetica”. Il concetto di potenza, e la sua unità, ci riportano a James Watt e alle sue macchine a vapore.
Il lavoro di una forza
Definizione
Una forza compie lavoro quando il suo punto di applicazione si sposta. Se la forza \(\vec F\) è costante e lo spostamento \(\vec s\) è rettilineo, il lavoro è
dove \(\theta\) è l'angolo fra la forza e lo spostamento. Il lavoro è una grandezza scalare e si misura in joule: \(1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}\).
Il segno del lavoro
- Motore (\(L>0\)): \(\theta<90^\circ\), la forza “aiuta” il moto (es. spinta nel verso dello spostamento).
- Nullo (\(L=0\)): \(\theta=90^\circ\), forza perpendicolare allo spostamento (es. la forza normale, la forza centripeta).
- Resistente (\(L<0\)): \(\theta>90^\circ\), la forza si oppone al moto (es. l'attrito).
Solo la componente della forza parallela allo spostamento, \(F\cos\theta\), compie lavoro. La componente perpendicolare non ne compie.
Se la forza non è costante lungo lo spostamento, non possiamo più scrivere \(F\,s\). Il lavoro è però ancora l'area compresa fra il grafico \(F\)–\(s\) e l'asse degli spostamenti (area sopra l'asse = lavoro positivo, area sotto = negativo). È questa idea — non l'integrale — che useremo per la molla nella sezione 3.
Forza inclinata su una cassa
Regola l'intensità della forza, l'angolo rispetto allo spostamento e la distanza percorsa. Osserva come cambia il lavoro e il suo segno.
Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica
L'energia del movimento
Un corpo in moto possiede energia cinetica, cioè energia dovuta alla sua velocità:
Si misura in joule, è sempre positiva o nulla (dipende da \(v^2\)) ed è una grandezza scalare. Attenzione alla dipendenza dal quadrato della velocità: se \(v\) raddoppia, \(E_c\) diventa quattro volte più grande.
Teorema dell'energia cinetica
Il lavoro totale compiuto da tutte le forze su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica:
È chiamato anche teorema delle forze vive. Se il lavoro totale è positivo il corpo accelera, se è negativo rallenta.
Da dove viene? Per una forza risultante costante \(F=ma\) e moto uniformemente accelerato vale \(v_f^2 = v_i^2 + 2 a s\). Moltiplicando per \(\tfrac12 m\): \(\tfrac12 m v_f^2 = \tfrac12 m v_i^2 + m a s\), cioè \(F s = \Delta E_c\). Ecco il teorema, ottenuto senza integrali. Conseguenza pratica: la distanza di arresto di un veicolo in frenata cresce con \(v^2\), perché tutta l'\(E_c\) deve essere “tolta” dall'attrito.
Una forza netta spinge (o frena) un blocco
Il blocco parte con velocità \(v_i\) e subisce una forza netta costante lungo un tratto \(s\). Confronta il lavoro \(L=F\!\cdot\! s\) con la variazione di energia cinetica.
Energia potenziale: gravitazionale ed elastica
Forze conservative
Una forza è conservativa se il lavoro che compie non dipende dal percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo. Il peso, la forza elastica e la forza gravitazionale sono conservative; l'attrito no. A una forza conservativa possiamo associare un'energia potenziale \(U\) tale che
Energia potenziale gravitazionale
Vicino alla superficie terrestre, per un corpo a quota \(h\) rispetto a un livello di riferimento scelto da noi:
Contano solo le differenze di quota: possiamo fissare lo zero dove è più comodo.
Energia potenziale elastica
Una molla di costante \(k\) allungata (o compressa) di un tratto \(x\) esercita la forza \(F=k x\) (legge di Hooke). Il lavoro per deformarla è l'area del triangolo sotto il grafico \(F\)–\(x\): base \(x\), altezza \(k x\). Quindi
L'energia potenziale è definita a meno di una costante: solo le differenze \(\Delta U\) hanno significato fisico. Inoltre la forza “punta” sempre verso le zone di \(U\) minore: dove il grafico di \(U\) scende ripido, la forza è intensa. (In termini quantitativi la forza è l'opposto della pendenza di \(U\).)
Due tipi di energia potenziale
Conservazione dell'energia meccanica
Energia meccanica
La somma di energia cinetica e potenziale è l'energia meccanica:
Se agiscono solo forze conservative (peso, molla…), l'energia meccanica si conserva: \(E_c\) e \(U\) possono trasformarsi l'una nell'altra, ma la loro somma resta costante.
Quando c'è attrito
Le forze non conservative (attrito, resistenza dell'aria, spinte esterne) fanno variare l'energia meccanica di una quantità pari al loro lavoro:
L'attrito compie lavoro negativo \(L_{\text{attr}}=-f\,d\): l'energia meccanica “persa” non sparisce, si trasforma in calore. L'energia totale si conserva sempre.
Un corpo che parte da fermo e scende (senza attrito) da un'altezza \(h\) arriva in basso con \(\tfrac12 m v^2 = m g h\), quindi \(v=\sqrt{2gh}\): la velocità non dipende dalla massa né dalla forma dello scivolo, solo dal dislivello. Con l'attrito, una parte di \(mgh\) diventa calore e la velocità finale è minore.
Biglia in una conca
Rilascia la biglia da un'altezza e osserva gli scambi fra energia cinetica e potenziale. Aumentando l'attrito, l'energia meccanica cala e l'ampiezza si smorza (il resto diventa calore).
La potenza
Quanto in fretta
La potenza misura la rapidità con cui viene compiuto un lavoro (o trasferita energia). La potenza media è
Si misura in watt: \(1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}\). Compiere lo stesso lavoro in meno tempo richiede più potenza.
Potenza e velocità
Se una forza \(F\) agisce nella direzione del moto su un corpo che va a velocità \(v\), la potenza istantanea è
Un'automobile a velocità costante non accelera, eppure il motore eroga potenza: serve a vincere attriti e resistenza dell'aria, con \(P=F_{\text{resist}}\,v\). Il rendimento \(\eta = P_{\text{utile}}/P_{\text{assorbita}}\) dice quale frazione della potenza fornita diventa lavoro utile (il resto è calore).
Una gru solleva un carico
La gru solleva il carico a velocità costante: la forza necessaria è \(F=mg\) e la potenza \(P=F v = m g v\). Confronta la potenza in watt e in cavalli vapore.